2014年5月11日日曜日

グレた確率統計 ~忌まわしき組み合わせ(補遺)~

次の記事から、いよいよ離散分布から連続分布へ移っていきます。
そのターニングポイントとして、ここで天下り的に用いた3つの組み合わせの公式(とその補題)を、
ここで示しておこうかと思います。
というのは、
1. 負の二項定理(?)
$$\sum_{r=0}^\infty {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}~x^r = (1-x)^{-n}$$

2.
$${ }_{n+m}\mathrm{C}_k =\sum_{l = k-\mathrm{min}(k,m)}^{\mathrm{min}(k,n)} { }_n\mathrm{C}_l \cdot { }_m\mathrm{C}_{k-l}$$

3.
$${}_{m}\mathrm{C}_{m}+  {}_{m+1}\mathrm{C}_{m}+{}_{m+2}\mathrm{C}_{m}+...+{}_{n}\mathrm{C}_{m}= { }_{n+1}\mathrm{C}_{m+1}$$

そして、パスカルの三角形を数式で表した、
4.
$${}_{n}\mathrm{C}_{m} = { }_{n-1}\mathrm{C}_{m} + { }_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}$$

を補題とし、計4題を示していきたいと思います。

# 1. の証明
これは、$\frac{1}{(1-z)^n}$を級数展開してみればよい。
まずは、導関数を求める。
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (1-z)^{-n} = n(1-z)^{-n-1}\\
\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} (1-z)^{-n} =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} n(1-z)^{-n-1} = n(n+1)(1-z)^{-n-2}\\$$
これより、帰納的に
$$\frac{\mathrm{d}^k }{\mathrm{d} x^k} (1-z)^{-n} = n(n+1)...(n+k-1)(1-z)^{-n-k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}(1-z)^{-n-k}$$
と分かる。
これを用いてz = 0 のまわりで級数展開すると、
$$(1-z)^{-n} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!~k!} z^k = \sum_{k=0}^\infty { }_{n+k-1}\mathrm{C}_{k}\cdot z^k$$
ここで、この級数の収束半径を求める。第k項を$a_k$と書くとすると、
ダランベールの収束判定法を用いて、
$$\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \left| \frac{n+k}{k+1}~ z \right| \xrightarrow[]{k \rightarrow \infty} |z| $$
よって、収束半径は $|z| < 1$ である。zが確率であるならば、$0 \leq z \leq 1$であるから、自明な場合の多い z = 1 を除けば、この等式は常に成り立つ。

# 2. の証明
$$(1+x)^{n+m} = \sum_{k=0}^{n+m} { }_{n+m}\mathrm{C}_{k} \cdot x^k\\
(1+x)^n (1+x)^m = \left( \sum_{i=0}^{n} { }_{n}\mathrm{C}_{i} \cdot x^i \right ) \left( \sum_{j=0}^{m} { }_{m}\mathrm{C}_{j} \cdot x^j \right )$$

$(1+x)^{n+m} = (1+x)^n (1+x)^m$ であるから、$x^k$の係数は、
(左辺) $$= { }_{n+m}\mathrm{C}_{k}$$
(右辺) $$=\sum_{\substack{i+j = k \\ 0 \leq i \leq n \\ 0 \leq j \leq m}} { }_{n}\mathrm{C}_{i} \cdot { }_{m}\mathrm{C}_{j}$$
$0 \leq k \leq m+n$より、これはすなわち
$$= \sum_{i = \mathrm{max}(k-m,0)}^{\mathrm{min}(n,k)} { }_{n}\mathrm{C}_{i} \cdot { }_{m}\mathrm{C}_{k-i}$$
であるので、題意は満たされた。ちなみに、
$$k-\mathrm{min}(k,m) = k + \mathrm{max} (-k, -m) = \mathrm{max}(0, k-m) $$
となる。

# 4. の証明
まずは補題として,パスカルの三角形を証明します。

$${ }_{n-1}\mathrm{C}_{m} + { }_{n-1}\mathrm{C}_{m-1} = \frac{(n-1)!}{(n-m-1)!~m!}+\frac{(n-1)!}{(n-m)!~(m-1)!}\\
=(n-1)!~\frac{(n-m)+m}{(n-m)!~m!} = \frac{n!}{(n-m)!~m!} = { }_{n}\mathrm{C}_{m}$$

# 3. の証明
少し書き換えた
$${}_{m}\mathrm{C}_{m}+  {}_{m+1}\mathrm{C}_{m}+{}_{m+2}\mathrm{C}_{m}+...+{}_{m+n}\mathrm{C}_{m}= { }_{m+n+1}\mathrm{C}_{m+1}$$
を数学的帰納法で証明する。

i) n = 0のとき、
$${}_{m}\mathrm{C}_{m}= { }_{m+1}\mathrm{C}_{m+1}$$
より明らか。

ii) n = k が成り立つと仮定すると、n = k + 1のとき、
$${}_{m}\mathrm{C}_{m}+  {}_{m+1}\mathrm{C}_{m}+{}_{m+2}\mathrm{C}_{m}+...+{}_{m+k}\mathrm{C}_{m}+{}_{m+k+1}\mathrm{C}_{m} \\
= {}_{m+k+1}\mathrm{C}_{m+1} + {}_{m+k+1}\mathrm{C}_{m}$$
ここで、4. の等式を使うと、
$${}_{m+k+1}\mathrm{C}_{m+1} + {}_{m+k+1}\mathrm{C}_{m} = {}_{m+(k+1)+1}\mathrm{C}_{m+1}$$
よって、n = k + 1 でも成り立つ。

これより、$n \geq 0$ で 3. は示された。







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