2014年6月6日金曜日

グレた確率統計 ~ポアソン分布~

これまでにしてきたことを少し振り返ってみましょう。
まず、ベルヌーイ試行から始まりました。ONかOFFか、YESかNOか、1か0か、というやつですね。それを複数回行ったときのONの数の確率分布を求めました(二項分布)。そして、初めてONが出たときの試行回数の確率分布も求めました(幾何分布)。畳み込みを踏まえた上で、幾何分布の一般形、すなわち r回ONが出たときの試行回数の確率分布も求めました(負の二項分布)。そのあと、連続化に進み、幾何分布を連続化しました(指数分布)。また、負の二項分布の連続化、もしくは指数分布の畳み込みを行いました(アーラン分布)。

二項分布、幾何分布、負の二項分布、指数分布、アーラン分布が、単純なベルヌーイ試行から導出されてきたことを見てきたわけです。

さて、今回は、次のような分布を求めてみます。すなわち、「単位時間で事象がk回起こる確率」です。

最も単純明快な導出方法は、おそらく、アーラン分布(ガンマ分布)を用いたものでしょう。

単位時間で事象がk回起こる確率というのは、t' < 1 なる t' でk回起こり、残りの時間は起こらなかった確率と言い換えられます。t = t' で k回起こる確率というのはガンマ分布、

$$\Gamma(t; r=k) = \frac{t^{k-1} \phi^{k} \exp(-\phi t)}{(k-1)!}$$

で表わせ、残りの時間、すなわち t = 1-t' で1回も起こらない確率$g_0(t)$は指数分布を用いて、

$$g_0(t) = 1-\int_0^t \phi \exp(-\phi t') dt' = \exp(-\phi t)$$

とできますから、この2つの畳込み、

$$Pr(X=k) = \int_0^1 \Gamma(t';r=k)\cdot g_0 (1-t')dt' \\ = \int_0^1 \frac{t'^{k-1} \phi^{k} \exp(-\phi t')}{(k-1)!} \cdot \exp(-\phi (1-t')) dt' \\ = \frac{\phi^k \exp(-\phi)}{(k-1)!} \int_0^1 t'^{k-1}dt' = \frac{\phi^k}{k!}  \exp(-\phi) $$

この分布をポアソン分布といい、意味としてはさきに書いた通り、「単位時間で事象がk回起こる確率」となります。



というわけで、主要な確率分布が以上のようにすべて繋がっているように考えられるということが分かります。


(多分おしまい)

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